4.1 DEFINICION DE SERIES

Definiciones y notación.

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiene
alguno, se define como

S = lim S n .
n→∞
Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la
denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial
multiplicado por una cantidad constante, p. ej.
a + ar + ar 2  + ar 3  + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1  + ⋅ ⋅ ⋅ .  En
este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha
serie infinita.
En general una serie infinita significa una expresión de la forma
a1 + a2  + a3  + ⋅ ⋅ ⋅ + an  + ⋅ ⋅ ⋅ ,
donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula.  Los tres puntos
significan que la serie nunca termina.  Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la
formación e la serie, el término general o término n-ésimo deberá expresarse, p. ej.
12  + 2 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2  + ⋅ ⋅ ⋅
x − x 2  +  x
2
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
(− 1)n−1 x n
(n − 1)!
+ ⋅ ⋅ ⋅
También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las series anteriores, la
forma abreviada será




∞
∑
n=1
∞
∑ n 2
n =1
(− 1)n−1 x n
(n − 1)!   .

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para
nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse
en términos de funciones elementales ( potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas,
logaritmos  y exponenciales y combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy
complicado trabajar con ellos.  En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos
los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada.  Las ecuaciones diferenciales son
resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas.  Una integral definida,
0.1
por ejemplo,
∫ e − x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funciones
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a
término dicha serie.

4.1.2 Infinita (Criterio de D' Lembert)(Criterio de Cauchy)

Criterio D' Lembert

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de  se obtiene un número L, con los siguientes

 Si   converge.
 Si  diverge. 

 Si L = 1, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea:

Tal que:

f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:

con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

L < 1 la serie converge
L > 1 la serie diverge
L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Acontinuacion se muestra un breve Ejemplo:

Criterio de Cauchy

Entonces, si:

L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe,
o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Evaluacion

Por medio de la presente informo que nuestra calificacion es 93%.
esta calificacion fue otorgad por el ingeniero Enrique Marquez Eloiza

4.2 Serie numérica y convergencia.

Para ver la informacion de clik en la imagen correspondiente

 cibergrafia

http://webs.uvigo.es/matematicas/campus_ourense/cursosAA-BB/ETIX/ETIX_calculo/guion3.pdf

4.4 Radio de convergencia

En matematicas segun el teorema de Cauchy-Hadamard el radio de converencia de una serie de la forma  

con , viene dado por la expresión  



DEFINICIÓN:
Si nos limitamos de los números reales, una serie de la forma  con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0.La serie converge absolutamente  para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x₀ | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x₀ − r, x₀ + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi abierto o cerrado. Si la serie converge solo para x₀, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = infinito.

4.5 Serie de Taylor

Serie de Taylor

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:

• La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
• Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
• Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

Existen series de Taylor para:

• Función exponencial
• Logaritmo natural

Serie Geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométricas:

• Seno
• Coseno
• Tangente
• Secante
• Arco seno
• Arco tangente

Funciones hiperbólicas:

• Senh
• Cosh
• Tanh
• Senh-1
• Tanh-1

Bibliografi

http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.

 Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.

4.5 Serie de Taylor.

La función p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+..........+a_nxⁿ, en la que los coeficientes a_k son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax²+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato.

A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), e^x, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático. Examinemos uno de estos métodos.

Fórmula de Taylor

Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.

El polinomio de primer grado p₁(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.

Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p₂(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)², tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:

f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)² + ...... + (1/n!) f ⁽ⁿ⁾(a) (x-a) ⁿ

El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.

Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)ⁿ. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)ⁿ.
Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.

Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto:

f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)²+ ...... +(1/n!) f ⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ+(1/(n+1)!) f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-a)ⁿ⁺¹

El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.

La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.

Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisión deseada.

La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico.

La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones.

En las siguientes escenas podemos observar cómo la gráfica de las funciones se va "tapando" con la gráfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x calculamos la diferencia entre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.

la cibergrafia es: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Desarrollo_serie_taylor/Desarrollo_en_serie_de_taylor.htm