Calculo Integral: 4.6 Representación de funciones por la serie Taylor.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

$f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$

que puede ser escrito de una manera más compacta como

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,$

donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y

(x - a) 0

0!

son ambos definidos como uno.
La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de

d

variables:

$\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d} =$

$\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \sum_{n_1+\cdots+n_d=n} {n \choose n_1 \cdots n_d} {\partial^n f(a_1,\cdots,a_d) \over \partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d},$

donde ${n \choose n_1 \cdots n_d}$ es un coeficiente multinmial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:

$f(x,y) \,$

$\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,$

$+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right).$

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots$

donde $\nabla f(\mathbf{a})$ es el gradiente y $\nabla^2 f(\mathbf{a})$ es la matriz hessiana. Otra forma:

$T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}$

Calculo Integral

jueves, 26 de mayo de 2011

4.6 Representación de funciones por la serie Taylor.

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